Métrica, separação, área, sobreposição, colinearidade

Caso 1D
Uma separação é uma função ‘s’ de MxM para R, tal que:
1a) s(x,y) >= 0
1b) s(x,y) = s(y,x)
1c) s(x,z) <= s(x,y) + s(y, z) Se a nulidade da separação implicar a sobreposição, 1d) s(x,y) = 0 => x=y
então a separação é uma distância.

Caso 2D
Uma área é uma função ‘a’ de MxMxM para R, tal que:
2a) a(x,y,z) >= 0
2b) a(x,y,z)= a(x,z,y) = a(y,x,z)= a(y,z,x) = a(z,x,y)= a(z,y,x)
2c) a(x,y,w) <= a(x,y,z) + a( y,,w,z) + a(x,z,w) Propriedade de enlace 2D > 1D:
Para um conjunto M, estando definidas as funções ‘s’ e ‘a’,
se a nulidade da área implicar a igualdade em 1c) então os pontos são colineares numa mesma recta.
Aliás, torna-se assim possível definir recta de uma maneira muito melhor que a de Euclides,
que não tem ponta por onde se pegue:

Uma linha recta é uma linha que assenta igualmente entre as suas extremidades.

Ou então:
Linha recta é aquella, que está posta egualmente entre as suas extremidades.

Além disso, estas definições admitem generalizações para o caso 3D, 4D, …
Fixe!

Agora as conjecturas-intuições, mais ou menos plausíveis:
Finalmente as primitivas e o cálculo de integrais definidos podem desencaixar.
Pois num espaço métrico, se área não estiver enlaçada com a distância ….
Piu! Não faz sentido fazer integrais definidos.

E é possível falar da integração por áleas, ou por demãos como na pintura de paredes, para “funções” multívocas.

Ah, se eu fosse três ou quatro, em vez de apenas um indíviduo.

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