Porque ainda tenho dúvidas…

Sobre a questão do axioma da regularidade em ZFC, ainda tenho algumas dúvidas, que podem ser expressas do seguinte modo:

Estabeleça-se a seguinte convenção prévia: As sequências de chavetas equilibradas, em que primeiro elas todas abrem, para em seguida fecharem todas, como em { {{}} }, serão recodificadas de forma a que cada par de chavetas na sequência seja representado por uma barra vertical, obtendo-se ||| para representar o caso referido.

Consideremos agora conjuntos das ditas sequências.
Comecemos pelo conjunto { {} }. Tem um único elemento. Tem cardinal um. Pode ser recodificado para { | }. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Consideremos agora o conjunto { {} {{}} }. Tem dois elementos. Tem cardinal dois. Pode ser recodificado para { | || }. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Consideremos agora o conjunto { {} {{}} {{{}}} }. Tem 3 elementos. Tem cardinal 3. Pode ser recodificado para { | || ||| }. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Consideremos agora um conjunto finito { {} {{}} {{{}}} …}. Tem n elementos. Tem cardinal n. Pode ser recodificado para { | || ||| …}. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Consideremos agora o conjunto infinito { {} {{}} {{{}}} …}. Tem AlephZero elementos. Tem cardinal AlephZero . Pode ser recodificado para { | || ||| …}. A sequência de barras mais longa tem um número de elementos igual ao cardinal do conjunto.

Será este último conjunto regular no sentido do axioma da regularidade de ZFC?
Neste conjunto é possível encontrar um elemento, |||…| com um número de barras igual ao cardinal do conjunto, o que significa que é possível encontrar um elemento {{{…}}}, com um número AlephZero de chavetas.
Mas um conjunto em que exista um elemento {{{…}}}, com um número AlephZero de chavetas, não é regular no sentido ZFC.
Pelo que este conjunto não é regular no sentido ZFC.

Mas o conjunto anterior pode ser visto como uma representação do conjunto dos naturais.
Pelo que o conjunto dos naturais não é regular!!?
Portanto não é um conjunto no sentido de ZFC.

Então para que é que serve a ZFC?
Se os naturais não são um conjunto no sentido da ZFC, muito menos o são os reais. Se nem consegue representar os naturais, como apoiar nela a representação dos reais!!?

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O que parece ser o ponto mais crítico do raciocínio anterior é a passagem de n para AlephZero. Mas a alternativa implica construir um conjunto infinito só com elementos finitos do tipo |||…|||. De acordo com o exposto, não estou a ver como é possível construir desta forma um conjunto que seja infinito, e em que todos os seus elementos sejam sequências finitas de barras verticais.

Este “monstro” tem sido difícil de esconjurar.