Chornal do Inacreditável

Simetria e reciprocidade

Numa equação do segundo grau, Ax^2+Bx+C=0, simétrica (em que o A=C), então as raízes são recíprocas, ou seja, o seu produto dá um!
– – –
Exemplo ilustrativo: 2x^2+5x+2 tem raízes -1/2 e -2.
– – –
Demonstração para o caso geral:
Sendo A=C, então a fórmula resolvente fica:
(-B(+-)sqrt(B^2-4AC))/(2A) –> (-B(+-)sqrt(B^2-4A^2))/(2A)

Multiplicando uma raiz pela outra vem:

(-B+sqrt(B^2-4A^2))/(2A) * (-B-sqrt(B^2-4A^2))/(2A)=

= (B^2 +Bsqrt(B^2-4A^2)-Bsqrt(B^2-4A^2)-B^2+4A^2)/(4A^2)=

= (4A^2)/(4A^2)=

=1 .QED.
– – –
Donde: se uma equação do segundo grau é simétrica, então as raizes são recíprocas
———-
Uma outra pergunta é:
Como é que me fui lembrar desta coisa… Mas isso tem muito que se lhe diga!

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carnide

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Comentários

10 comentários a “Simetria e reciprocidade”

  1. Avatar de al
    al

    claro que a construção QED cai por terra quando B=0
    porque, Ax^2=-A, ou seja x^2=-1
    que como toda a gente “imagina” não tem representação em |R
    mas isso…”tem muito que se lhe diga!”
    mais uma para “como é que me fui lembrar desta coisa”

  2. Avatar de carnide
    carnide

    Saindo em defesa da minha dama:
    x^2= -1 tem duas raízes: i, e -i.
    Acontece que i *(-i)= 1, pelo que se mantém a afirmação de que as raizes são recíprocas, visto o seu produto dar um.
    E esta, hem?!

  3. Avatar de alex
    alex

    Fantástico. Já fizeste uns gráficos no Matlab para veres o que isso representa?

  4. Avatar de Mário Macedo
    Mário Macedo

    É uma propriedade engraçada realmente. Nunca tinha pensado nisso. Será que é original.
    Um abraço aos autores do blogue.

    Mário Macedo

  5. Avatar de Mário Macedo
    Mário Macedo

    Corolário de Mário Macedo:

    se for ax^2+bx+c=0, uma equação de 2º grau, e x1 e x2 as suas raízes, temos:

    x1*x2=c/a

    que, na realidade, é o caso geral e não o corolário do vosso teorema.

    Se c = a então x1*x2=1, como vocês dizem.
    Abraço,
    Mário Macedo

  6. Avatar de carnide
    carnide

    Gráficos!!? Para quê? Estás a gozar, não estás?
    – – –
    Por outro lado, dado o grafico de y= Ax2+Bx+C, como marcar o A, o B, e o C no grafico?
    De certeza que o google tem uma resposta, pois o C tem que ser o y quando o x é zero.

  7. Avatar de carnide
    carnide

    O 2B é a diferença do y desde x= 1 até x= -1.

    O A, alguém sabe?

  8. Avatar de alex
    alex

    Não estou a gozar.
    A ideia era ver se havia alguma regularidade que saltasse à vista… mas o corolário do Mário Macedo pode vir a mudar as coisas.

  9. Avatar de alex
    alex

    8 comentários, com este 9.
    Para um artigo sobre matemática não está nada mau.

  10. Avatar de Berlusconas
    Berlusconas

    Vocês são malucos.
    Estão é a precisar de Bunga Bunga

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